Sveikieji Skaičiai: Skaičių Sistemos ir skaičių prasmė

 

	This Project has been funded with support from the European Commission.  This communication reflects the views only of the author, and the Commission can not be held responsible for any use which may be made of the information contained therein.

 

TIKSLAI

Perskaitę šį skyrių sugebėsite:

• Suprasti natūraliųjų skaičių panaudojimą
• Suprasti neigiamų skaičių sąvoką
• Suprasti ir atlikti pagrindinius veiksmus su natūraliaisiais ir neigiamais skaičiais
• Pateikti sveikųjų skaičių seką ir suprasti sveikųjų skaičių išsidėstymo tvarką

ĮVADAS ir PAGRINDINIAI VEIKSMAI

Skaičiai, kuriais skaičiuojame daiktus vadinami – natūraliaisiais, pradedant skaičiumi 1. Anksčiau vyravo idėja, kad nulis laikomas kaip atskiras skaitmuo.

Natūraliųjų skaičių aibė žymima ženklu  ir susideda iš šių skaitmenų:

Pagrindinis veiksmas atliekamas su šių skaičių aibe vadinamas sudėtimi ir žymimas simboliu “+”. Kiekvienas natūralusis skaičius, pradedant antruoju, yra vienetu didesnis už prieš jį esantį.

Keli sudėties pavyzdžiai:

Dviejų skaitmenų suma praktiškai yra dviejų objektų sudėtis. Sudėties taisyklės pagristos pirmų 10-ies natūraliųjų skaičių sudėtimi, kitaip vadinamų vienaženkliais skaičiais:

Kiekviena sudėtis didesnė nei šie dešimt skaitmenų yra pagrista veiksmais tarp dešimties vienaženklių skaičių.

1	8	+
2	3
1+2+1=4	8+3=11
4	1

Raudonai pažymėtas vienaženklis skaičius yra „perkeliamas“ į kairę ir panaudojamas vienaženklių skaičių sudėčiai kairėje. 
Antrasis svarbus veiksmas atliekamas su natūraliais skaičiais yra atimtis, tai priešingas veiksmas sudėčiai, kai iš natūralaus skaičiaus atimamas kitas skaičius.  Natūraliajam skaičiui gauti, atimamas skaičius visada turi būti mažesnis arba lygus pirminiam skaičiui. Žvilgterėkime į pavyzdį:

Kaip matome, jeigu sudėsime rezultatą ir atimamą skaičių gausime pirminį skaičių:  

Tai yra įprastas atimties patikrinimo metodas. Jeigu norime atimti skaičius, kurie nėra vienaženkliai, tuomet panaši taisyklė yra taikoma kaip ir sudėjimo atveju, tik šį kartą vietoj vienaženklio skaičiaus „perkėlimo“ į kairę mes vienetą išmetame, jeigu vienaženklis yra didesnis negu atimamas skaičius. Pažvelkime į pavyzdžius.

Pirmasis pavyzdys yra gana nesudėtingas, nes visi vienaženkliai nesunkiai gali būti atimami. Antrasis pavyzdys atrodo šiek tiek sudėtingesnis, tačiau jis gerai iliustruoja aukščiau aprašytą taisyklę.

5	3	-
2	1
5-2=3	3-1=2
3	2

 

5	1	-
2	8
(5-1)-2=2	11-8=3
2	3

Kadangi atėmėme vienetą iš 5, atimtis kairėje bus 4-2=2.

Toliau apžvelgsime kitą veiksmą tarp natūraliųjų skaičių t.y. daugybą, ji žymima  “×” arba “∙”. Daugyba yra daugiakartinė tų pačių skaičių sudėtis, pavyzdžiui, vietoj tokio užrašymo 

mes galime rašyti taip

tai yra ketvertą sudėjus penkis kartus gauname dvidešimt.
Kai sudauginame skaičius su daugiau kaip vienu vienaženkliu, tos pačios taisyklės yra taikomos kaip ir sudėčiai: tik paskutinis vienaženklis yra parašomas, kiti „perkeliami“ į kairę ir pridedami prie daugybos rezultato. Kiekvienas vienaženklis yra padauginamas iš žemiau esančių vienaženklių, pradedant nuo kairės į dešinę. Pateikiame pavyzdį, kur antrasis skaičius yra vienaženklis:

1	3	×
	7
1×7+2=9	3×7=21
9	1

Jei antrasis skaičius turi du vienaženklius, tokie patys veiksmai yra kartojami ir rezultatas yra perkeliamas viena pozicija į kairę, kaip pavaizduota pavyzdyje: 

	1	3	×
	2	7
	1×7+2=9	3×7=21
1×2=2	3×2=6
2+1=3	9+6=15	1

Turėtume atkreipti dėmesį, kad bet kokį skaičių padauginę iš 0 gausime 0, o padauginę iš 1 gausime tą patį skaičių iš kurio dauginame. Padauginus iš 10 sumoje prisideda 0.  Pilna daugybos lentelė tarp skaičių 1 ir 10 pateikiama žemiau:

 

Kaip ir “+” veiksmui taip ir daugybos veiksmui yra priešingas veiksmas, vadinamas dalyba, žymimas “÷” arba “:”. Ryšys tarp šių veiksmų paaiškinamas žemiau:

Jeigu 3×5=15, tuomet 15:5=3.

Tai reiškia, kad jeigu mes padauginame pirmąjį skaičių iš 5, o tada rezultatą padaliname iš 5, gauname tą patį pirmąjį skaičių. Apačioje esantis pavyzdys parodo kaip padalinti du skaičius, kurie turi daugiau nei vieną vienaženklį:

3	5	1	÷	3
3=3×1				1	1	7
=	5	-
	3=3×1
	2	1	-
	2	1	=3×7
	=	=

VEIKSMŲ SEKA

Jeigu norime apskaičiuoti sudėtingesnį reiškinį, pavyzdžiui

turime nustatyti visų veiksmų atlikimo tvarką. Pirmiausia reikia atlikti daugybos ir dalybos veiksmus, o tada sudėties ir atimties. Viršuje pateiktas reiškinys apskaičiuojamas taip:

Norint veiksmus sugrupuoti, galima panaudoti skliaustelius, tuomet pirmiausiai yra atliekami veiksmai esantys skliausteliuose:

Skliausteliai gali būti įterpti vieni į kitus, tokiu atveju pirmiausiai atliekami veiksmai įterptuose skliausteliuose:

Kartais atliekant veiksmus, skliaustelius pagal tam tikras taisykles galima pašalinti, tai vadinama „atskliaudimu“:

Apskritai, šios taisyklės taikomos, kai  yra natūralieji skaičiai:

NATŪRALIŲJŲ SKAIČIŲ PAVAIZDAVIMAS
Natūraliuosius skaičius galima pavaizduoti tiesioje linijoje, kitaip vadinamoje skaičių aibe.
0    1    2    3    4    5    6    7                           a     a+1
 

Pirmiausiai, pavaizduojame 0, tuomet pasirenkame trumpą atkarpą, vadinama matu ir pažymime 1. Kiekvienas dešiniau esantis natūralusis skaičius yra vienetu didesnis už prieš tai buvusį. Natūraliųjų skaičių aibė yra begalinė, net ir po didelio skaičiaus yra už jį vienetu didesnis natūralusis skaičius. Vienetas gali apibrėžti dviejų natūraliųjų skaičių sąryšį ir padėti nustatyti, kuris iš jų yra didesnis ar mažesnis, atsižvelgiant į šių skaičių padėti natūraliųjų skaičių aibėje. Skaičius esantis kairėje yra mažesnis, o dešinėje – didesnis.  Pavyzdžiui, 5 yra didesnis už 3 ir mes pažymime

Tokiu pačiu būdu galime patvirtinti, kad 1 yra mažesnis už 7, ir pažymime

Kitas būdas nustatyti dviejų skaičių sąryšį yra toks: natūralusis skaičius a  yra mažesnis už b jeigu yra natūralusis skaičius c toks kaip

tai reiškia, kad prie a mes turime kažką pridėti, kad gautume b.

SVEIKIEJI SKAIČIAI

Paminėjome, kad atliekant atimties veiksmus, pirmasis skaičius visada turi būti didesnis už antrąjį. Kai sudedame skaičių aibe judame į dešinę, kai atimame į kairę. Judėdami į kairę gauname mažesnius natūraliuosius skaičius, kurie yra atimties rezultatas.  
Kas atsitiktų, jeigu į kairę pajudėtume dar daugiau? Akivaizdu, kad liniją galime pratęsti į kairę ir už 0, bet ten jau nebėra natūraliųjų skaičių, vadinasi turime apibrėžti naujų skaičių pavadinimą. Šie skaičiai panašūs į natūraliuosius, išskyrus tai, kad prieš juos rašomas minuso ženklas. Pavyzdžiui, -1 gaunamas pajudėjus per vieną poziciją į kairę nuo 0, taip pat kaip ir skaičius 1 yra gaunamas pajudėjus per vieną poziciją nuo 0 į dešinę.

                                    -4   -3   -2   -1    0    1    2   3

Atliekant pagrindinius matematinius veiksmus, užrašymo forma yra tokia

Šiuo būdu pastebime, kad

Atlikdami atimties veiksmus su natūraliaisiais skaičiais, galime pakeisti tų skaičių išsidėstymo tvarką, pavyzdžiui:

taigi 17 yra daugiau negu 15, perkeldami prirašome tam skaičiui priklausantį minuso ženklą.
Remiantis taisyklėmis su natūraliaisiais skaičiais, tokias pačias taisykles galime pritaikyti ir sveikiesiems skaičiams:






Taigi

su kiekvienu natūraliuoju skaičiumi a.
Atliekant daugybos veiksmus, remiamės tokia lentele:

Tokios pačios taisyklės taikomos ir atliekant dalybos veiksmus su sveikaisiais skaičiais. Dabar kai žinome kas yra sveikieji skaičiai, juos galime pavaizduoti vienoje eilėje su natūraliais skaičiais, ši skaičių aibė žymima  ženklu

Ryšys tarp sveikųjų skaičių yra panašus kaip ir tarp natūraliųjų, tai reiškia, kad mažesnis skaičius yra tas, kuris yra kairiau. Taigi, kiekvienas neigiamas skaičius (pažymėtas minuso ženklu) yra mažesnis už teigiamą skaičių.
Dviejų neigiamų skaičių santykis yra toks:
skaičius  yra mažesnis už skaičių  jeigu pirmasis skaičius be minuso ženklo yra didesnis už antrąjį skaičių be minuso ženklo .
Tai reiškia, kad sudėjus natūralųjį skaičių su jį atitinkančiu neigiamu skaičiu, visada gausime 0: